數學悖論－關於愛，我是個小學生。

今天被學生問了一個問題，'數學史上的五大悖論，應該怎麼解'？我們先看一下是哪五個 (https://kknews.cc/news)：

一、羅素悖論

薩維爾村理髮師推出了一塊招牌：「村裡所有不自己理髮的男人都由我給他們理髮，我也只給這些人理髮」。於是有人問他：「你的頭髮誰理呢？」理髮師頓時啞口無言。

因為，如果他給自己理髮，那麼他就屬於自己給自己理髮的那類人。但按招牌他又不能自己理髮。相反，如果別人給他理髮，那麼，他就是不給自己理髮的人，按照招牌他應該給自己理髮。所以，理髮師自相矛盾。這是英國哲學家羅素提出的著名悖論，被稱為「羅素悖論」。

二、說謊者悖論

「我現在說的這句話是謊話。」這是公元前四世紀的希臘哲學家歐幾里德出的。同樣是真假難辯。類似的還有公元前六世紀出現當時的克里特島哲學家愛皮梅尼特曾說過：「所有克里特島人都說謊。」

有趣的是：這種悖論還有許多變式。例如，同學甲對同學乙說：「你下句話要講的是『不』對不對？請用是或者不來回答！」如果乙回答說「是！」這就表示乙同意了問話人的預言。也就是他要講的是「不」，因此他的回答是與自己本意相違背的。如果乙回答說「不！」這就表示乙同意了問話人的預言。因此他應該回答說「是」，因而又與自己的本意相矛盾。究竟該如何回答，這是數學家正在研究但尚未解決的問題。

三、強盜的難題

強盜搶劫了一個商人，並將他捆在樹上準備殺掉。為了戲弄商人，強盜頭子對他說：「你說我會不會殺掉你，如果說對了，我就放了你，決不反悔。如果說錯了，我就殺掉你。聰明的商人仔細想了想，便說：「你會殺掉我。」於是強盜頭子發獃了。如果殺掉商人，那麼商人就說對了，應該放了商人；但是，反過來，放了商人，那就是商人說錯了，又應該殺掉。強盜不知所措，只好放了商人。這是古希臘哲學家喜歡講的故事。

四、無法編成的書目

瑞士數學家貢塞斯曾說過這樣一個故事：古老的亞歷山大圖書館裡，辛勤的學者卡里馬楚斯正在埋頭編製圖書館珍藏的亞里士多德學派著作目錄。編著編著，突然放聲大哭，因為他感覺無法進行下去了。原來『他把所有書目分成兩類：第一類專收「自身列入的目錄」，意思是目錄中也列入這本目錄自身的名目。第二類專收自身不錄入的目錄，翻開這本目錄，找不道它自己的名目。可他編完第二類目錄，這本目錄是第二類書目的「總目」。但他想到這部「自身不錄入的目錄」的「總目」，其名不應該收入這本《總目》本身時，卻發現這是一個無法解決的難題。於是放聲大哭起來。

五、難拿的箱子

一天，一個名叫歐米加外星人來到了地球。他可以非常準確預言每個人在二選一時的選擇。歐米加用箱子檢測了許多人。箱子A是透明的，總是裝者100個金幣；箱子B是不透明的，要麼裝10000個金幣，要麼是空的。他告訴每一個受測者，有兩種選擇，一種是拿走兩個箱子，可以獲得其中的所有東西。可是，當我預計你會這樣做時，我就會讓箱子B空者，你就只能得到100個金幣。另一種選擇是只拿箱子B。當我預計你會這樣做時，我就會讓箱子B里放10000個金幣，你就能全部得到它。

一個男孩決定只拿箱子B，嘗試了許多次，他都預言對了。凡拿兩個箱子的人都只得到了100個金幣。所以他只拿箱子B，就可得到10000個金幣。而一個女孩決定拿走兩個箱子，理由是：歐米加已做完了他的預言，且已離去，箱子不會變了。如果是空的，它還是空的，如果B中有金幣，那麼它仍然有。所以：如果B中有金幣，她只拿B，可得10000個金幣；而兩個都拿，可得10100個金幣。如果B是空的，她只拿B，就什麼也得不到；而兩個都拿，至少可得100個金幣。因此，在每種情況下，她拿兩個箱子都比拿一個箱子多100個金幣。兩種看法不可能都對，那種錯了，為什麼？

這是美國物理學家W·扭科姆提出的悖論，至今還沒有解決。

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至今都還沒解決？引發數學危機？我真的不信ㄟ。我可能是個大膽的白吃吧，因為這五個悖論的解答是一樣的簡單啊，五個字就解決啦，關鍵就在：'異集合重疊'。以上所有的矛盾點，都是出於將 '相異集合' '視為' '相等'、再套用傳統數論的 '交換律' 後所產生的問題。重點在於二點：一、'人' 不盡然適用 '函數' 的 '變數特性'，因為人的 '數學性'，與數字的數學性不同；二、數學中的 '集合'，其定義應當有所規範 (集合公設)，而該規範不得違背 '數論規範'，否則必產生矛盾的情形。會覺得以上五個故事屬 '數學悖論' 的人，不是數學不好，而是誤會了哲學。